Movimiento rotacional EJEMPLO 1.11 Aceleración angular de un disco Un disco de radio R, masa M y momento de inercia I esta montado sobre un eje horizontal sin fricción como se muestra en la figura. Un cordón ligero esta enrollado alrededor del disco soportando un cuerpo de masa m. Calcule la aceleración lineal del cuerpo suspendido, la aceleración angular del disco, y la tensión en el cordón. Solución La torca que actúa sobre el disco alrededor de su eje de rotación es: t=TR . El peso del disco y la fuerza normal del eje sobre el disco pasan a través del eje de rotación y no producen torca. Ya que t = I a obtenemos Ahora, si aplicamos la segunda ley de movimiento de Newton a la masa suspendida m, haciendo uso del diagrama de cuerpo libre, véase figura La aceleración lineal de la masa suspendida es igual a la aceleración tangencial de un punto en la orilla del disco. Por lo tanto, la aceleración angular del disco y esta aceleración lineal están relacionadas por a=Ra. Utilizando este hecho y sustituyendo en la expresiones anteriores se obtiene: para despejar T se requiere de un poco de álgebra para obtener: Del mismo modo, se puede despejar a y a y se obtiene: Ejercicio 5 el disco en la figura es un disco sólido de masa M= 2 kg, R=30 cm, I= 0.09 kg m2. El objeto suspendido tiene una masa m=0.5 kg. Encuentre la tensión en el cordón y la aceleración angular del disco. Respuesta 3.27 N; 10.9 rad/s2 RESUMEN La velocidad angular instantánea de una partícula que gira en un circulo o un cuerpo rígido girando alrededor de un eje fijo esta dada por: donde w se da en rad/s , o bien , s-1. La aceleración angular instantánea de un cuerpo que gira es y tiene unidades de rad/s2 , o bien, s-2. Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, todas sus partes tienen la misma velocidad angular y la misma aceleración angular. Sin embargo, en general, partes diferentes del cuerpo tiene velocidades y aceleraciones tangenciales (lineales) diferentes. Si una partícula o un cuerpo rígido experimenta un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, bajo la aceleración angular constante, a, se puede aplicar las ecuaciones de la Cinemática en analogía con las ecuaciones de la cinemática para movimiento lineal bajo aceleración constante: w = w0 + a t q = q0 + w0t +½ a t2 w2 = w02 + 2a (q - q0) Cuando un cuero rígido gira alrededor de un eje fijo, la velocidad angular y la aceleración angular están relacionadas con la velocidad lineal y la aceleración lineal mediante las relaciones V= r w at = r a El momento de inercia de un sistema de partículas esta dado por Si un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, con velocidad angular, w, su energía cinética se puede escribir donde I es el momento de inercia alrededor del eje de rotación. El momento de inercia de un cuerpo rígido esta dado por donde r es la distancia desde el elemento de masa dm al eje de rotación. La torca o momento de torsión asociado a una fuerza F que actúa sobre un cuerpo tiene una magnitud igual a donde d es el brazo de momento (de palanca) de la fuerza, el cual es la distancia perpendicular desde cierto origen a la línea de acción de la fuerza. La torca es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar al cuerpo alrededor de cierto eje. Si un cuerpo rígido puede girar libremente alrededor de un eje fijo entonces tiene una torca neta actuando sobre él, y el cuerpo adquiere una aceleración angular a, donde: PREGUNTAS 1. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular, w, del segundero de un reloj? ¿Cuál es la dirección de w cuando esta viendo el reloj de mano verticalmente? ¿Cuál es la aceleración angular, a, de un segundero? 2. Un disco gira en sentido contrario a las manecillas del reloj en un plano xy. ¿Cuál es la dirección de w? ¿Cuál es la dirección de la aceleración angular si la velocidad angular esta decreciendo con el tiempo? 3. ¿Las expresiones cinématicas para q, w , y a son válidas cuando el desplazamiento es medido en grados en lugar de radianes? 4. Un tornamesa gira a una razón de 45 rev/min. ¿Cuál es la magnitud de su velocidad angular en rad/s? ¿Cuál es su aceleración angular? 5. Cuando un disco de radio R gira alrededor de un eje fijo, ¿todos los puntos sobre el disco tienen la misma velocidad angular? ¿todos tienen la misma velocidad lineal? Si la velocidad angular es constante e igual w0 describa las velocidades lineales y las aceleraciones lineales de los puntos r=0, r=R/2, y r=R. 6. Suponga que sólo dos fuerzas externas actúan sobre un cuerpo rígido, y que las dos fuerzas son iguales en magnitud pero opuesta en dirección. ¿Bajo que condiciones girará el cuerpo? 7. Explique como se podría utilizar el aparato descrito en el ejemplo 1.11 para determinar el momento de inercia del disco. (Si el disco no es uniforme el momento de inercia no es necesariamente igual a 1/2(MR2) 8. Utilizando los resultados del ejemplo 1.11, ¿como calcularía la velocidad angular del disco y la velocidad lineal de la masa suspendida para t=2 s, si el sistema se abandona desde el reposo en t=0? ¿Es válida la relación V=rw en esta situación? 9. Explique por qué al cambiar el eje de rotación de un cuerpo cambia su momento de inercia. 10. Dos cilindros que tienen las mismas dimensiones están sujetos a rotación alrededor de sus ejes con la misma velocidad angular. Un esta vacío y el otro lleno con agua. ¿Cuál de los cilindros será más fácil de detener? 11. Si ve un objeto girando, ¿existe necesariamente una torca neta actuando sobre él? Comparación de las ecuaciones utilizadas en los movimientos de rotación y de traslación Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo Movimiento lineal Velocidad angular = w = d q /dt Velocidad lineal = v = dx/dt Aceleración angular = a = dw/dt Aceleración lineal = a = dv/dt Momento de torsión o torca de una fuerza resultante: Fuerza resultante: Si la aceleración angular es constante: w = w0 + a t q = q0 + w0t +½ a t2 w2 = w02 + 2a (q - q0) Si la aceleración lineal es constante: V = V0 + at X = x0 + V0 t + ½ at2 V2 = V02 + 2 a (x – x0 ) Trabajo = Trabajo = Potencia = P= tw Potencia = P = Fv Momento angular = L = Iw Momento lineal o cantidad de movimiento = p = mv Momento de torsión o torca de una fuerza resultante: t = dL/dt Fuerza resultante: F = dp/dt otación alrededor de un eje fijo 6 PAGE 6 Dr. Juan Antonio Flores