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Rotación de Cuerpos Rígidos en torno a un eje fijo
INDICE
Rotación de Cuerpos Rígidos en torno a un eje fijo ........................................................................ 1
Desplazamiento, Velocidad y Aceleración angulares ................................................................... 2
Rotación con aceleración angular constante .............................................................................. 6
Relación entre cinemática lineal y angular ................................................................................. 7
Hasta ahora nos hemos ocupado sólo del movimiento
traslacional. Discutimos ya la cinemática y la
dinámica del movimiento traslacional (por ejemplo, el
papel de la fuerza), y la energía y la cantidad de
movimiento asociadas con el movimiento traslacional.
Ahora nos ocuparemos del movimiento rotacional.
Nuestra comprensión del mundo que nos rodea
aumentará de forma significativa; hablaremos de las
ruedas de una bicicleta en movimiento, los discos
compactos, los juegos en un parque de diversiones,
un patinador que da vueltas, la Tierra
que gira y una centrifugadora. Seguramente habrá
algunas sorpresas.
¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto (CD), una rueda de sillas voladoras,
una sierra circular y un ventilador de techo? Ninguno puede representarse adecuadamente como
un punto en movimiento; todos implican un cuerpo que gira sobre un eje que está fijo en algún
marco de referencia inercial.
La rotación se da en todos los niveles, desde el
movimiento de los electrones en los átomos hasta los
movimientos de las galaxias enteras. Necesitamos de
métodos generales para analizar el movimiento de un
cuerpo en rotación.
De ahora en más consideraremos los cuerpos con tamaño
y forma definidos, que en general pueden tener
movimiento rotacional además del traslacional.
Los cuerpos reales pueden ser muy complicados; las fuerzas que actúan sobre ellos pueden
deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos. Por el momento haremos caso omiso de esto y
supondremos que el cuerpo tiene forma y tamaño perfectamente definidos e inmutables. Llamamos
a este modelo idealizado
cuerpo rígido. Nosotros estudiaremos el movimiento rotacional de un
cuerpo rígido girando alrededor de un eje fijo.
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Comenzaremos explicando la cinemática del movimiento rotacional y luego su dinámica (incluyendo
la torca o torque), así como la energía cinética rotacional y la cantidad de movimiento angular (el
análogo rotacional de la cantidad de movimiento lineal).
Desplazamiento, Velocidad y Aceleración angulares
Movimiento rotacional puro de un objeto alrededor de un eje fijo significa que todos los puntos en el
objeto se mueven en círculos, como el punto P en la rueda en rotación de la figura 1, y que los
centros de tales círculos se encuentran todos sobre una línea llamada el
eje de rotación. En la figura
1, el eje de rotación es perpendicular a la página y pasa por el punto O. Suponemos que el eje está
fijo en un marco de referencia inercial, aunque puede ser que el eje no pase por el centro de masa.
Todo punto de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo se
mueve en un círculo (que se indica con una línea punteada en la
figura1 para el punto P), cuyo centro está sobre el eje de rotación
y cuyo radio es R, es decir, la distancia de ese punto al eje de
rotación. Una línea recta dibujada del eje a cualquier punto en el
objeto barre el mismo ángulo θ en el mismo intervalo de tiempo.
Para indicar la posición angular del objeto, o cuánto ha girado,
especificamos el
ángulo θ de alguna línea particular en el objeto (en celeste en la
figura) con respecto a alguna línea de referencia, como el eje x . Un
punto en el objeto, como P en la figura 1b, se mueve a través de
un ángulo θ cuando viaja la distancia
l medida a lo largo de la
circunferencia de su trayectoria circular. Los ángulos se indican
comúnmente en grados, pero la matemática del movimiento
circular es mucho más sencilla si usamos el
radián para medidas
angulares.
Un radián (que se abrevia rad) se define como el ángulo subtendido
por un arco cuya longitud es igual al radio. Por ejemplo, en la
figura 1, el punto P está a una distancia R del eje de rotación, y se
ha movido una distancia l a lo largo del arco de un círculo. Se
dice entonces que la longitud
l
del arco “subtiende” un ángulo θ. En general, cualquier ángulo θ
está dado por:
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Ver que si
l = R , entonces θ = 1 rad.
El radián, como es la razón de dos longitudes, es una cantidad adimensional. Por lo que no tenemos
que mencionarlo en los cálculos, aunque por lo general es mejor incluirlo para que recordemos que
el ángulo está en radianes y no en grados.
Los radianes pueden relacionarse con los grados de la siguiente manera. En un círculo completo
hay 360°, que por supuesto corresponden a una longitud de arco igual a la circunferencia del
círculo,
l =2πR. Entonces, θ = l /R= 2πR/R= 2π radianes en un círculo completo, por lo que:
Si quiero saber cuantos grados equivalen a 1 radian, puedo usar la regla de 3 simple y me da:
1 rad = 57,3° aproximadamente.
Un objeto que hace una revolución (rev) completa, es decir una vuelta completa, ha girado 360° o
2π radianes:
Para describir el movimiento rotacional, usamos cantidades
angulares, como la velocidad angular y la aceleración angular.
A tales cantidades se les define en analogía con las cantidades
correspondientes al movimiento lineal, y se eligen para describir
al objeto en rotación como un todo, así que
son las mismas para
cada punto del objeto giratorio.
Cada punto de un objeto en rotación también puede tener
velocidad y aceleración traslacionales, pero éstas
tienen
valores distintos para diferentes puntos del objeto.
Cuando un objeto, como la rueda de bicicleta en la figura 4, gira
desde una posición inicial especificada por θ
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hasta una
posición final θ
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, su
desplazamiento angular es:
La velocidad angular (denotada con la letra griega omega
minúscula ω) se define por analogía con la velocidad lineal
(traslacional) que estudiamos en el capítulo 2.
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En vez de un desplazamiento lineal, usamos el desplazamiento angular. La
velocidad angular
promedio de un objeto que gira alrededor de un eje fijo se define, entonces, como la razón de
cambio de la posición angular respecto del tiempo:
donde Δθ es el ángulo que ha rotado el objeto en el intervalo de tiempo Δt. La
velocidad angular
instantánea es el límite de esta razón de cambio cuando Δt tiende a cero:
La velocidad angular por lo general se especifica en radianes por segundo (rad/s). Advierta que
todos
los puntos en un cuerpo rígido giran con la misma velocidad angular, ya que toda posición en el objeto se
mueve a través del mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo.
Un objeto como la rueda de la figura de arriba puede girar en torno a un eje fijo, ya sea en sentido
horario o en sentido contrario. La dirección se especifica con los signos + o -, tal como hicimos en el
capítulo 2 para el movimiento lineal en la dirección +x o -x.
La convención habitual consiste en elegir el desplazamiento angular Δθ y la velocidad angular ω
como positivos cuando la rueda gira en sentido antihorario. Si la rotación es en el sentido horario,
entonces Δθ disminuye, por lo que Δθ y ω serán negativos.
La velocidad angular
es un vector: como se muestra la figura de al lado, si consideramos que el
giro de una rueda es en el plano xy,
se representa por un vector con la dirección del eje de giro y
el sentido estará dado por la regla de la mano derecha que usamos para definir el producto vectorial
en algebra. Si la rotación es en torno al eje z,
es positiva si apunta en la dirección +z y negativa si
apunta en la dirección –z.
La formulación vectorial
tiene especial utilidad
en situaciones en las
que cambia la dirección
del eje de rotación.
Nosotros sólo
consideraremos
situaciones en las que el
eje de rotación es fijo.
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La
aceleración angular (denotada con la letra griega alfa minúscula α), en analogía
con la aceleración lineal, se define como el cambio en la velocidad angular dividido entre el tiempo
requerido para efectuar este cambio. La
aceleración angular promedio se
define como:
donde ω1 es la velocidad angular inicial y ω2 es la velocidad angular final después de un
intervalo de tiempo Δt. La
aceleración angular instantánea se define como el límite de
esta razón cambio Δω cuando Δt tiende a cero:
Como ω es la misma para todos los puntos de un objeto en rotación, la ecuación [3] nos indica que
α también será la misma para todos los puntos. Así, ω y α son propiedades del objeto en rotación
como un todo.
Como ω se mide en radianes por segundo y Δt se mide en segundos, α estará expresada en radianes
sobre segundo al cuadrado (rad/s
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).
La aceleración angular es un vector: Así como hicimos con
la velocidad angular, resulta útil definir un vector de
aceleración angular. Matemáticamente , es la derivada con
respecto al tiempo del vector de velocidad angular. Si el objeto
gira en torno al eje z (fijo), apunta en la misma dirección que
si la rotación se está acelerando, y en la dirección opuesta si
se está frenando.
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Rotación con aceleración angular constante
Vimos que el movimiento rectilíneo es muy sencillo si la aceleración es constante. Lo mismo sucede
con el movimiento rotacional sobre un eje fijo. Si la aceleración angular es constante, podemos
deducir ecuaciones para la velocidad y la posición angulares siguiendo el mismo procedimiento que
usamos para el MRUV. De hecho, las ecuaciones que vamos a deducir son idénticas a las
ecuaciones cinemáticas si sustituimos x por θ, v por ω y a por α. Sugerimos repasar la sección
MRUV con aceleración constante antes de continuar.
Sea la ω
o
velocidad angular de un cuerpo rígido en t = 0 y sea ω su velocidad angular en cualquier
instante posterior t. La aceleración angular α es constante e igual al valor medio en cualquier
intervalo.
Usando la ecuación [3] en el intervalo de 0 a t , tenemos:
Por lo que:
Con aceleración angular constante, la velocidad angular cambia a una razón uniforme, así que su
valor medio entre 0 y t es la media de los valores inicial y final:
También sabemos que
es el desplazamiento angular total (θ – θ0) dividido entre el intervalo de
tiempo (t – 0);
Si igualamos las ecuaciones [5] y [6] y ordenamos, obtenemos:
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Sustituimos [4] en [7] y obtenemos:
Ordenando:
Es decir, si en t = 0 el cuerpo tiene una posición angular θ
o
y una velocidad angular ω
o
, su posición
angular ω en cualquier instante posterior t será la suma de tres términos: su posición angular
inicial θ
o
, más la rotación ω
o
t que tendría si la velocidad angular fuera constante, más una rotación
adicional causada por el cambio en la velocidad angular.
Las ecuaciones [4] y [8] son las ecuaciones cinemáticas angulares, que me dan la posición angular y
su velocidad angular para cada instante de tiempo t (si α=cte)
Relación entre cinemática lineal y angular
Cada partícula o cada punto de un objeto rígido en rotación tiene, en cualquier momento, una
velocidad lineal v y una aceleración lineal a. Podemos relacionar esas cantidades lineales en cada
punto, v y a, con las cantidades angulares, ω y α, del objeto en rotación.
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Considere una partícula P situada a una distancia R del eje de
rotación, como en la figura de acá al lado. Si el objeto gira con
velocidad angular ω, cualquier punto tendrá una velocidad lineal
cuya dirección es tangente a su trayectoria circular. La magnitud
de su velocidad lineal es v= d l /dt.
Cuando P gira un ángulo dθ , recorre una distancia d l ; en la
ecuación [1] vemos que, un cambio en el ángulo de rotación dθ
está relacionado con la distancia lineal recorrida por d l =R dθ.
Por consiguiente:
O bien:
donde R es una distancia fija desde el eje de rotación a la
partícula P y ω está en rad/s. Entonces, aunque ω es la misma
para todo punto de un objeto que gira en cualquier instante, la
velocidad lineal v es mayor para partículas más alejados del
eje. Note que la ecuación [9] es válida tanto para valores
instantáneos como para los valores promedio.
La velocidad lineal v también se le dice v tangencial ya que
como vimos, siempre es tangente a la trayectoria de la
partícula.
Derivando la ecuación [9] vemos la relación entre las
aceleraciones lineal o tangencial y la aceleración angular:
Es decir:
θ siempre en
radianes !!!
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La α es la misma para todas las partículas del sólido, pero, como se ve en la ecuación [10], al igual
de lo que ocurre con la velocidad tangencial, la aceleración tangencial de una partícula es distinta,
a distintas distancias del eje de giro, aumentando a medida que nos alejamos del centro.
Recordemos también que por el hecho del cambio de dirección de
la velocidad tangencial de la partícula, hay una componente de la
aceleración de la partícula que está dirigida hacia el eje de
rotación, la
componente centrípeta de aceleración a
rad
; ya habíamos
deducido la relación:
donde introducimos la ecuación [9].
La ecuación [11] se cumple en todo instante aun si ω y v no son
constantes. La componente centrípeta siempre apunta hacia el eje
de rotación.
La suma vectorial de las componentes centrípeta y tangencial de
la aceleración de una partícula en un cuerpo en rotación es la
aceleración total (Ver figura)
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