El caso más simple, se da cuando la partícula está en reposo sobre la plataforma

Cuando una partícula está en reposo sobre la plataforma en movimiento de rotación con velocidad angular constante Ω, la fuerza de rozamiento varía de 0 a su máximo valor μ_s·N=μ_s·mg, dependiendo de la distancia r de la partícula al origen.

Si una partícula describe una trayectoria circular de radio r, la fuerza de rozamiento que ejerce la plataforma sobre la partícula F_s, se obtiene aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme

${\displaystyle m{\Omega }^{2}r=F_s}$

Sea R el radio para el cual la fuerza de rozamiento F_s adquiere su valor máximo μ_s·N=μ_s·mg. μ_s es el coeficiente estático

${\displaystyle \begin{array}{l}m{\Omega }^{2}R={\mu }_{s}mg\\ R=\frac{{\mu }_{s}g}{{\Omega }^2}\end{array}}$

R es la máxima distancia radial a la que puede estar la partícula sobre la plataforma en rotación, más allá de la cual no puede seguir en reposo

Partícula en movimiento relativo

Como hemos apreciado, una partícula en reposo sobre la plataforma en rotación describe una trayectoria circular de radio r respecto al Sistema de Referencia Inercial o Sistema de Laboratorio. En este apartado, vamos a describir el movimiento de la partícula en este Sistema de Referencia

Sea una partícula de masa m que está situada sobre una plataforma en rotación con velocidad angular constante Ω. En un instante dado t, la posición de la partícula es (x, y) y su velocidad (v_x, v_y) referidas a Sistema de Referencia Inercial OXY. El vector velocidad relativa de la partícula respecto a la plataforma es

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{v_r}=\left(v_x+\Omega r\sin \theta \right)\widehat{i}+\left(v_y-\Omega r\cos \theta \right)\widehat{j}=\\ \left(v_x+\Omega y\right)\widehat{i}+\left(v_y-\Omega x\right)\widehat{j}\end{array}}$

La fuerza de rozamiento que ejerce la plataforma sobre la partícula cuando desliza, es constante en módulo, μ_k·N=μ_k·mg y de sentido contrario a la dirección de la velocidad relativa. μ_k es el coeficiente cinético

${\displaystyle \overrightarrow{F_r}=-{\mu }_{k}mg\frac{\left(v_x+\Omega y\right)\widehat{i}+\left(v_y-\Omega x\right)\widehat{j}}{\sqrt{{\left(v_x+\Omega y\right)}^2+{\left(v_y-\Omega x\right)}^2}}}$

Las ecuaciones del movimiento cuando el cuerpo desliza son:

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\mu }_{k}g\frac{v_x+\Omega y}{\sqrt{{\left(v_x+\Omega y\right)}^2+{\left(v_y-\Omega x\right)}^2}}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-{\mu }_{k}g\frac{v_y-\Omega x}{\sqrt{{\left(v_x+\Omega y\right)}^2+{\left(v_y-\Omega x\right)}^2}}\end{array}}$

Posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

La posición de una partícula es (x, y) en coordenadas rectangulares y (r, θ) en coordenadas polares. La relación es

x=r·cosθ, x=r·sinθ

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\widehat{r}\frac{dr}{dt}+r\frac{d\widehat{r}}{dt}}$

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios

${\displaystyle \begin{array}{l}\widehat{r}=\widehat{i}\cos \theta +\widehat{j}\sin \theta \hfill \\ \widehat{\theta }=-\widehat{i}\sin \theta +\widehat{j}\cos \theta \hfill \end{array}}$

Derivamos con respecto del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\widehat{r}}{dt}=(-\widehat{i}\sin \theta +\widehat{j}\cos \theta )\frac{d\theta }{dt}=\widehat{\theta }\frac{d\theta }{dt}\hfill \\ \frac{d\widehat{\theta }}{dt}=(-\widehat{i}\cos \theta -\widehat{j}\sin \theta )\frac{d\theta }{dt}=-\widehat{r}\frac{d\theta }{dt}\hfill \end{array}}$

La expresión del vector velocidad en coordenadas polares es

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{dr}{dt}\widehat{r}+r\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }}$

La velocidad relativa de la partícula respecto a la plataforma en movimiento de rotación con velocidad angular Ω, se escribe en coordenadas polares

${\displaystyle \overrightarrow{v_r}=\overrightarrow{v}-r\Omega \widehat{\theta }=\frac{dr}{dt}\widehat{r}+\left(r\frac{d\theta }{dt}-r\Omega \right)\widehat{\theta }}$

Derivando el vector velocidad con respecto del tiempo, obtenemos el vector aceleración

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\widehat{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\widehat{r}}{dt}+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }+r\frac{d\theta }{dt}\frac{d\widehat{\theta }}{dt}=\hfill \\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}\widehat{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\widehat{r}=\hfill \\ \left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)\widehat{r}+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }\hfill \end{array}}$

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones del movimiento son

${\displaystyle m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_r}\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=-{\mu }_{k}g\frac{\frac{dr}{dt}}{\sqrt{{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\theta }{dt}-\Omega \right)}^2}}\\ r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}=-{\mu }_{k}gr\frac{\frac{d\theta }{dt}-\Omega }{\sqrt{{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\theta }{dt}-\Omega \right)}^2}}\end{array}}$

Simplificamos las ecuaciones definiendo las variables adimensiones τ=t·Ω y ξ=r/R=rΩ²/(μ·mg). Supondremos que los coeficientes μ_k=μ_s=μ

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d^2\xi }{d{\tau }^2}-\xi {\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2=-\frac{\frac{d\xi }{d\tau }}{\sqrt{{\left(\frac{d\xi }{d\tau }\right)}^2+{\xi }^2{\left(1-\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2}}\\ \xi \frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}+2\frac{d\xi }{d\tau }\frac{d\theta }{d\tau }=\xi \frac{1-\frac{d\theta }{d\tau }}{\sqrt{{\left(\frac{d\xi }{d\tau }\right)}^2+{\xi }^2{\left(1-\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2}}\end{array}}$

Las condiciones iniciales son las siguientes:

Se lanza la partícula en el instante τ=0, desde la posición ξ₀, con velocidad V₀ haciendo un ángulo φ en el sistema de referencia de la plataforma

Las componentes de la velocidad inicial de la partícula medida en el Sistema de Referencia Inercial respecto del cual la plataforma gira con velocidad angular de una unidad (en el sistema de unidades establecido) es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{d\xi }{d\tau }\right)}_0=V_0\cos \phi \\ {\xi }_{{}_0}{\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}_0=V_0\sin \phi +{\xi }_0·1=V_0\sin \phi +{\xi }_0\\ {\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}_0=\frac{V_0\sin \phi }{{\xi }_0}+1\end{array}}$

Partícula en reposo

Si la partícula parte del reposo, V₀=0, con respecto a la plataforma desde una posición ξ₀<1 (r<R) la partícula continuará en reposo sobre la plataforma en dicha posición. Consideremos que la posición inicial de la partícula en reposo sobre la plataforma es ξ₀>1

x0=[1.1,eps,0,1]; %eps evita la división 0/0
%x(1) x, x(2) dx/dt, x(3) dth
fg=@(t,x)[x(2); x(4)^2*x(1)-x(2)/sqrt(x(1)^2*(1-x(4))^2+x(2)^2); x(4); 
-2*x(2)*x(4)/x(1)+(1-x(4))/sqrt(x(1)^2*(1-x(4))^2+x(2)^2)];
[t,x]=ode45(fg,[0,2.5],x0);
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('\tau')
ylabel('\xi');
title('Plataforma giratoria')

Partícula en movimiento relativo

Dibujamos las trayectorias de partículas vistas por el observador inercial para tres condiciones iniciales diferentes:

• La trayectoria '1' corresponde a las condiciones iniciales: ξ₀=0.5, V₀=1 y φ=π.
• La trayectoria '2' corresponde a las condiciones iniciales: ξ₀=0.5, V₀=0.6 y φ=0.
• La trayectoria '3' corresponde a las condiciones iniciales: ξ₀=1.1, V₀=1.3 y φ=1.2π.

%x(1) x, x(2) dx/dt, x(3) dth
fg=@(t,x)[x(2); x(4)^2*x(1)-x(2)/sqrt(x(1)^2*(1-x(4))^2+x(2)^2); x(4); 
-2*x(2)*x(4)/x(1)+(1-x(4))/sqrt(x(1)^2*(1-x(4))^2+x(2)^2)];

hold on
x0=[0.5,-1,0,1];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) 
x0=[0.5,0.6,0,1];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) 
x0=[1.1,1.3*cos(1.2*pi),0,1+1.3*sin(1.2*pi)/1.1];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) 
hold off
grid on
legend('1','2','3')
axis equal
xlabel('\xi·cos\theta')
ylabel('\xi·sin\theta');
title('Plataforma giratoria')

Lo curioso de la última trayectoria, es que una partícula con ξ₀>1, acaba en reposo sobre la plataforma en la región ξ<1

Dibujamos las trayectorias de partículas vistas por el observador inercial para dos condiciones iniciales diferentes muy próximas:

• La trayectoria azul corresponde a las condiciones iniciales: ξ₀=0.2, V₀=0.97 y φ=0.
• La trayectoria rosa corresponde a las condiciones iniciales: ξ₀=0.2, V₀=0.971 y φ=0.

d=0.2; %distancia al origen
fg=@(t,x)[x(2); x(4)^2*x(1)-x(2)/sqrt(x(1)^2*(1-x(4))^2+x(2)^2); x(4);
 -2*x(2)*x(4)/x(1)+(1-x(4))/sqrt(x(1)^2*(1-x(4))^2+x(2)^2)];

hold on
V0=0.97; %velocidad inicial (referido a la plataforma)
angulo=0; %ángulo (grados)
x0=[d,V0*cos(angulo*pi/180),0,1+V0*sin(angulo*pi/180)/d];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) 

V0=0.971;
angulo=0;
x0=[d,V0*cos(angulo*pi/180),0,1+V0*sin(angulo*pi/180)/d];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) 
hold off
grid on
axis equal
xlabel('\xi·cos\theta')
ylabel('\xi·sin\theta');
title('Plataforma giratoria')

La primera partícula acaba en reposo sobre la plataforma a una distancia ξ<1 del origen. Mientras que la otra se va al infinito ξ→∞

Fijada una distancia ξ₀<1, podríamos investigar, para qué velocidades V₀ y ángulos φ la partícula escapa al infinito

Referencias

Akshat Agha, Sahil Gupta, Toby Joseph. Particle sliding on a turntable in the presence of friction. Am. J. Phys. 83 (2) February 2015 pp 126-132